Xadrez e o Estudo da Função Exponencial

1. INTRODUÇÃO

O jogo de xadrez é um esporte que desenvolve habilidades como raciocínio lógico-dedutivo, concentração, cálculo de combinação de jogadas e elaboração de estratégias, servindo, portanto, como exercício mental que proporciona o desenvolvimento intelectual dos jogadores, podendo ser aplicado ao estudo da disciplina Matemática, cujo aprendizado se consolida com o domínio de alguns pressupostos que considero fundamentais, os quais estão relacionados aos conceitos e definições, às notações (que envolvem as representações através dos símbolos e sinais matemáticos) e às operações (multiplicação, divisão e adição) que são a base para o perfeito entendimento dos conteúdos trabalhados no ensino básico. De posse desses conhecimentos é necessário que o aluno saiba utilizar de forma correta cada um desses requisitos, pois, segundo Smole (2001) “devemos considerar que a resolução de problemas (matemáticos) trata de situações que não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor combine seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em busca da solução”.

Um dos maiores desafios dos professores de matemática é acabar ou pelo menos diminuir a rejeição dos alunos por essa disciplina. Para isso, é necessário refazermos as nossas metodologias procurando novos elementos que possam favorecer o processo ensino-aprendizagem de maneira eficiente, tomando o devido cuidado de não apenas repetir velhas “receitas” de ensinar.

Neste artigo estarei abordando, especificamente, a função exponencial, que é um importante assunto estudado no 1º ano do ensino médio e pode servir de base para outros educadores que desejem trabalhá-lo de maneira diferenciada com o auxílio do instigante jogo de xadrez. É importante ressaltar que o professor de matemática não necessariamente deve ser um experiente jogador, mas tem que dominar as regras básicas e conhecer as histórias que envolvem a origem do jogo.

Para fazermos uma aplicação do Xadrez ao estudo da função exponencial, primeiramente devemos conhecê-la.

2. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL

Uma função f: R->R^*₊ é denominada exponencial de base a quando dado um número real a, com a>0 e a≠1, definimos:

f(x) = a^x ou y = a^x

Exemplos:
f(x)= 3^x, função exponencial de base 3
y = 2^x, função exponencial de base 2
E como se explicam as restrições aos valores de a (a>0 e a≠1)?
*Para a = 0 e x negativo, não existiria a^x (não haveria uma função definida em R);
* Para a<0 x="1/2," a="-4" x="1/2" y =" (-4)1/2 = (sabemos que nesse caso a função não é definida em R).
* Para a = 1, teríamos uma função constante: y = 1^x = 1.

2.1 Gráfico da Função Exponencial

O gráfico da função exponencial é uma curva que passa sempre pelo ponto (0,1). Temos dois casos para o gráfico dessa função: a > 0 (função crescente) e 0 <> (função decrescente).

Analisando esses dois gráficos podemos concluir que para uma função exponencial, temos:

D(f) = R, CD(f) = R^*₊, Im(f) = R^*_+­­ e f(1) = a.

3. SOBRE O XADREZ

A origem do xadrez é um grande mistério que tem intrigado várias gerações. O que se sabe é que ele surgiu há vários séculos, com regras muito diferentes das atuais.

O tabuleiro de xadrez possui o formato quadrado com 64 casas, com as seguintes peças: peões, rei, dama, torre, cavalo e bispo.

Existem várias lendas sobre a origem do jogo de xadrez, no entanto, nos ateremos aqui à do indiano brâmane Sissa que inventou o jogo para agradar e diminuir o tédio de um certo rei.

Conta-se a lenda que o rei, encantado com o jogo, resolveu recompensar seu súdito satisfazendo qualquer pedido que este fizesse. Sissa, então pediu ao rei um grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos de trigo pela segunda casa (2¹), 4 grãos de trigo pela terceira casa (2²), oito grãos de trigo pela quarta casa (2³), e assim por diante, dobrando o número de grãos na casa seguinte, até encher todas as casas do tabuleiro com o número de grãos correspondentes, ou seja, 2⁶³.

O rei admirou-se com um pedido tão humilde e ordenou imediatamente aos seus súditos que providenciassem o que tinha sido requerido. No decorrer do trabalho começaram a perceber que a quantidade de grãos em cada casa estava aumentando na ordem dos milhões e logo concluíram que seria impossível realizar tal desejo, tendo em vista que nem juntando as plantações de trigo de toda a Terra seriam suficientes para completar o número de grãos referente à última casa do tabuleiro.

O número de grãos de trigo, necessários para satisfazer o pedido de Sissa, é igual a 2⁶⁴-1.

Esse valor é corresponde à soma da série 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1.024 + 2.048 + 4.096 + ... + 9.223.372.036.854.775.808, cujo resultado é igual a 18.446.744.073.709.551.615 (dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinqüenta e um mil e seiscentos e quinze). Um valor que dispensa comentários.

Foi impossível ao rei realizar tal desejo, em vista da grandeza do número.

4. OS GRÃOS DE TRIGO E A FUNÇÃO EXPONENCIAL

Vamos tabelar a quantidade de grãos de trigo em cada casa do tabuleiro de xadrez para verificar qual função está sendo envolvida na situação.

Nº CASAS	GRÃOS DE TRIGO EM CADA CASA	POTÊNCIAS
1	1	20
2	2	21
3	4	22
4	8	23
5	16	24
6	32	25
7	64	26
8	128	27
9	256	28
10	512	29
11	1 024	210
12	2 048	211
13	4 096	212
14	8 192	213
15	16 384	214
16	32 768	215
17	65 536	216
18	131 072	217
19	262 144	218
20	524 288	219
21	1 048 576	220
22	2 097 152	221
23	4 194 304	222
24	8 388 608	223
25	16 777 216	224
26	33 554 432	225
27	67 108 864	226
28	134 217 728	227
29	268 435 456	228
30	536 870 912	229
31	1 073 741 824	230
32	2 147 483 648	231
33	4 294 967 296	232
34	8 589 934 592	233
35	17 179 869 184	234
36	34 359 738 368	235
37	68 719 476 736	236
38	137 438 953 472	237
39	274 877 906 944	238
40	549 755 813 888	239
41	1 099 511 627 776	240
42	2 199 023 255 552	241
43	4 398 046 511 104	242
44	8 796 093 022 208	243
45	17 592 186 044 416	244
46	35 184 372 088 832	245
47	70 368 744 177 664	246
48	140 737 488 355 328	247
49	281 474 976 710 656	248
50	562 949 953 421 312	249
51	1 125 899 906 842 624	250
52	2 251 799 813 685 248	251
53	4 503 599 627 370 496	252
54	9 007 199 254 740 992	253
55	18 014 398 509 481 984	254
56	36 028 797 018 963 968	255
57	72 057 594 037 927 936	256
58	144 115 188 075 855 872	257
59	288 230 376 151 711 744	258
60	576 460 752 303 423 488	259
61	1 152 921 504 606 846 976	260
62	2 305 843 009 213 693 952	261
63	4 611 686 018 427 387 904	262
64	9 223 372 036 854 775 808	263

Com base na análise da tabela acima, podemos formar uma função matemática do tipo exponencial, cuja lei matemática é dada por:

ou
Onde:

y: é a quantidade de grãos em determinada casa do tabuleiro

x: indica a casa do tabuleiro, com {xЄZ/ 1 ≤ x ≤ 64}.

A base a da função é igual a 2.

4.1. Aplicações da função y = 2^x-1.

1. Qual a quantidade de grãos na décima casa do tabuleiro?

Solução:

Substituindo n=10 na função, temos:

y = 2^10-1 = 2⁹ = 512 grãos

O mesmo raciocínio é utilizado para qualquer que seja o número da casa.

2. Em que casa do tabuleiro tem-se uma quantidade de trigos igual a 8192?

Solução:

y=8192

8192 = 2^x-1 Temos que 8192 = 2¹³

2¹³ = 2^x-1 => 13 = x-1 => x = 14 (décima quarta casa)

Veja que aqui foi preciso utilizar os conhecimentos sobre equações exponenciais.

3. Resolvendo a expressão (2³)².2.2⁴ qual a quantidade de grãos encontrados e em que casa está localizada?

Solução:

Aplicando as propriedades da potenciação, temos:

2⁶.2.2⁴ = 2⁶⁺¹⁺⁴ = 2¹¹ = 2048 grãos

Para localizar a casa, fazemos:

2¹¹ = 2^x-1

11 = x-1 => x=12 (décima segunda casa)

4.2. Gráfico da Função f(x) = 2^x-1

…

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